Excel2000 应用案例之二十

第六章  统计分析

[本章提要]本章主要介绍了描述统计分析、直方图分析以及基于成对数据的t检验、双样本假设检验和样本率差异检验，并对其他的假设检验问题进行了概要的说明。
    统计分析就是以概率论为理论基础，根据试验或观察得到的数据，来研究随机现象，对研究对象的客观规律作出种种合理的估计和判断。统计分析的内容十分丰富，本章主要介绍如何利用Excel 2000提供的数据分析工具进行描述统计和假设检验。
   

6.1  描述统计

    描述统计的任务就是描述随机变量的统计规律性。要完整地描述随机变量的统计特性需要分布函数。但在实际问题中，求随机变量的分布函数并不是一件容易的事，另一方面对于一些问题也不需要去全面考察随机变量的变化规律，而只需知道随机变量的某些特征。例如，在研究某一地区居民的消费水平时，在许多场合只需知道该地区的平均消费水平；又如在分析某个年龄段儿童的生长发育情况时，常常关心的是该年龄段儿童的平均身高、平均体重；再如检查一批灯泡的质量时，既需要注意灯泡的平均寿命，又需要注意灯泡寿命与平均寿命的偏离程度，平均寿命较大、偏离程度较小，质量就较好。尽管这些数值不能完整地描述随机变量，但能描述随机变量在某些方面的重要特征。这些数字特征在理论和实践上都具有重要的意义。
   

6.1.1  常用描述统计量

    随机变量的常用数字特征有：数学期望、方差、协方差、相关系数、矩等。其中，数学期望又称为均值描述了随机变量的集中程度，方差描述了随机变量的离散程度，是最常用的两个数字特征。
    在统计分析中，样本是进行统计推断的依据，利用样本的函数就可以进行统计推断。若 是来自总体 的一个样本，则由样本所构成的不含任何未知参数的连续函数就称为一个统计量。下面是一些常用的统计量。
   
   1. 常用统计量
    设 是来自总体 的一个样本， 是这一样本的观察值或试验值，则常用统计量定义如下。
   

样本均值

   

样本方差

   

样本标准差

   

样本k阶（原点）矩

   

样本k阶中心矩

   
   2. 偏度、峰度系数
    根据中心极限定理可知，正态分布随机变量广泛地存在于客观世界，因此，当研究一连续型总体时，人们往往先考虑它是否服从正态分布。用来检验总体正态性的方法较多，但“偏度、峰度检验法”及“夏皮罗-威尔克法”较为有效，在此仅简单介绍偏度、峰度检验法，目的是引出偏态系数和峰度系数。
    所谓随机变量x的偏度和峰度是指x的标准化变量 的三阶中心矩和四阶中心矩，其中 分别是随机变量x的均值和方差。
    偏度和峰度的计算公式定义如下。
   

偏度

   

峰度

    偏度描述了随机变量分布相对其均值的不对称程度。峰度反映了与正态分布相比，随机变量分布的尖锐度或平坦度。当随机变量x服从正态分布时，其偏度 、峰度 。
    设 是来自总体X的一个样本， 是这一样本的观察值或试验值，则 的矩估计分别为：
   

样本偏度

   

样本峰度

    其中 是样本k阶中心矩。
    若总体x为正态变量， 是来自总体x的样本，则可以证明当n充分大时，样本偏度g₁、样本峰度g₂分别依概率收敛于总体偏度 和总体峰度 。即，当总体x为正态变量且n充分大时，g₁与 的偏离不应太大，而g₂与 的偏离也不应太大。
    需要说明的是，在Excel 2000中，将样本偏度称为偏斜度，将样本峰度称为峰值，其计算公式分别为：
   

偏斜度

   
峰值
   
    比较偏度、样本偏度和偏斜度以及峰度、样本峰度和峰值的计算公式可以看出，偏斜度就是样本偏度的估计值，峰值约等于样本峰度减去3。因此，若一组观察数据的偏斜度、峰值都接近于0，则可以认为这组数据是来自正态总体的。若其峰值为正，则表示与正态分布相比，其分布相对尖锐；若其峰值为负，则表示与正态分布相比，其分布相对平坦。