求解方程式

Excel是Microsoft Office家族成员之一，具有广泛的用途。说它是“魔表”，是因为它具有许多神奇的功能，在一张看似平常的表格上，通过Excel特殊的“工具”和专用“函数”，就可以解算各种复杂的数值问题。变化之奥妙，犹如演绎军阵，变幻魔方，翻手为云，覆手为雨，不由你不为之“走火入魔”。现在，Excel已列入计算机等级考试科目，有的省还列入职称评定的必考内容，总之，Excel越来越被大家所接受。
    本文专门介绍用Excel求解方程式的方法。
    一、求解超越方程
    不能用系数表达根的方程式称为超越方程。求解超越方程通常有两种方法，一种是图解法，一种是迭代法。这两种方法，手工计算都十分麻烦，利用Excel可以迅速获得结果。
    我们用  这个方程式作为例子，说明求解超越方程的一般方法。
    1、图解法
    在A2单元格设定X的起始值（单位为弧度），在B2单元格设定X的步长（X每步的增加值）。在C2单元格输入公式“= A2”，在C3单元格输入公式“= C2+$B$2”（带$表示B2单元格为绝对地址，复制公式时地址不发生变化），点住C3单元格右下角向下拖若干行，复制公式，完成各步的X值设置。在D2单元格输入方程式公式“=3*C2-COS(C2)-1”， 点住D2单元格右下角向下拖动，复制公式，完成方程式各步的计算工作。分析D列的计算结果，目的是寻找当方程式值为0时，X的变化区间。如果D列的数值不在0附近，可调整A2（X的起始值）；如果D列数值变化过大，可减小 B2（X的增步长），直到满意为止。调整A2和B2时，其它数值会自动变化。
    以D列0 为中心，选取上下附近C、D两列的相应区域，点“插入”菜单的“图表”，选区“XY散点图”，按照“图表向导”一步一步的做下去，调整好坐标轴的起止数值，增加X轴的“次要网格线”，以达到方程式曲线在穿越X轴（方程式值为0）时，能清晰辨认X的数值。从图上可以看到，方程式曲线穿越X轴的数值约为6.07，这就是超越方程的解。图解法求解超越方程，其优点是可以观察方程式的变化趋势，以及X值对方程式的影响情况，缺点是精度较低。
    2、迭代法
    用迭法求解一元方程的利器就是Excel的“单变量求解”工具。计算时需要将求解的公式输入到某个单元格作为“目标单元格”。本例只需点D2单元格，点“复制”，再点F2单元格，点“粘贴”，即可将公式复制到F2单元格，这样，F2就是“目标单元格”，E2自然成为X的变量单元格。
    点F2单元格，点“工具”菜单的“单变量求解”。设“目标单元格”为F2，设“目标值”为0，设“可变单元格”为E2，点“确定”，即得计算结果：X=0.6071。
    用“单变量求解”求解一元方程，优点是迅速、准确，缺点是不能了解函数的变化过程。
   

    二、求解联立方程
    用Excel求解联立方程有两个方法，一个是使用矩阵函数，一个是使用“规划求解”工具，两个方法都十分简便。
    以下列3元联立方程为例说明求解方法。
                   

    1、矩阵法
    联立方程一般可以用矩阵表示为AX=B，由此X=A^-1B。式中：A^-1为系数矩阵的逆矩阵，B为联立方程右侧的常量矩阵，取两矩阵的积，即得联立方程的解。
    在A2：C4区域设置系数矩阵A，在D2：D4设置常数矩阵B。选取F2：F4，输入公式“=MMULT(MINVERSE(A2:C4),D2:D4)”，同时按Shift 键、Ctrl键和 Enter键，即得计算结果：X1=2、X2=3、X3=-2.5。
    说明1，MMULT为矩阵积函数，用来计算矩阵的乘积。MINVERSE为逆矩阵函数，用来计算逆矩阵。这里将两个函数组合使用，可以减少计算步骤。
    说明2，当在Excel上进行成组计算时，称为数组操作。数组的计算必须同时按Shift 键、Ctrl键和 Enter键，方才有效。数组操作的同时，将自动在公式两侧产生大括符，表示该运算为数组运算。
    2、规划求解
    规划求解是Excel的特殊工具，主要用于系统规划中的最优化问题，拿来求解常规的联立方程，自然游刃有余。
    设H2：H4为X1、X2、X3的变量区，在I2输入公式“=2*H2-2*H3+4*H4”，在I3输入公式“=2*H2+3*H3+2*H4”，在I4输入公式“=-H2+H3-H4”。在I5输入公式“=SUM（I2：I4）”，计算联立方程常数项的和，其值为-12+8+3.5=-0.5，I5可设置成目标单元格，-0.5就是目标值。点I5，点“工具”菜单的“规划求解”。“目标单元格”设为I5，“目标值”设为-0.5，“可变单元格”设为H2：H4。点“添加”，设置以下“约束”：I2=-12、I3=8、I4=3.5。点“求解”，完成计算，即得计算结果：X1=2、X2=3、X3=-2.5。
         
    三、求解有约束的方程
    所谓有约束的方程，就是除了主要方程式（称作目标函数）外，还带有若干附加条件。目标函数和这些附加条件未必都是“等于”的关系，它们可以是“大于”，可以是“小于”，也可以是“最大”或“最小”，方程式的数量也未必和未知变量相等，求解这类方程，显然不是一般代数方法能够奏效的。计算有约束方程的方法，在运筹学中称为“最优化问题”，Excel为此设计了“规划求解”专用工具。“规划求解”可以解决社会、经济、工程诸多实际问题，这里我们只用一个数值例子，说明具体计算方法。
    今有目标函数 ，要求在以下约束下，获得最大值。
                    
    这是一个求最大值的问题，方程式（不等式）的数量也超过变量的数目，所以只能用“规划求解”方法计算。
    我们在Excel表格中，设A2、B2、C2分别为X1、X2、X3三个变量（计算前为空格），在D2单元格输入目标函数公式“=3*A2+B2+3*C2”, 在E2单元格输入第一约束条件“=3*A2+B2+C2”, 在F2单元格输入第二约束条件“=A2+2*B2+3*C2”, 在G2单元格输入第三约束条件“=2*A2+2*B2+C2”。
    点“工具”菜单的“规划求解”， “目标单元格”设为D2，“目标值”设为“最大值”，“可变单元格”设为A2：C2。点“添加”，设置以下约束：E2≤2、F2≤5、G2≤6、A2:C2≥0。点“求解”，稍等片刻即得计算结果：X1=0.2、X2=0、X3=1.6，在此条件下，目标函数的最大值为5.4。
   

按Shift 键、Ctrl键和 Enter键，即得计算结果：X1=2、X2=3、X3=-2.5。
    说明1，MMULT为矩阵积函数，用来计算矩阵的乘积。MINVERSE为逆矩阵函数，用来计算逆矩阵。这里将两个函数组合使用，可以减少计算步骤。
    说明2，当在Excel上进行成组计算时，称为数组操作。数组的计算必须同时按Shift 键、Ctrl键和 Enter键，方才有效。数组操作的同时，将自动在公式两侧产生大括符，表示该运算为数组运算。
    2、规划求解
    规划求解是Excel的特殊工具，主要用于系统规划中的最优化问题，拿来求解常规的联立方程，自然游刃有余。
    设H2：H4为X1、X2、X3的变量区，在I2输入公式“=2*H2-2*H3+4*H4”，在I3输入公式“=2*H2+3*H3+2*H4”，在I4输入公式“=-H2+H3-H4”。在I5输入公式“=SUM（I2：I4）”，计算联立方程常数项的和，其值为-12+8+3.5=-0.5，I5可设置成目标单元格，-0.5就是目标值。点I5，点“工具”菜单的“规划求解”。“目标单元格”设为I5，“目标值”设为-0.5，“可变单元格”设为H2：H4。点“添加”，设置以下“约束”：I2=-12、I3=8、I4=3.5。点“求解”，完成计算，即得计算结果：X1=2、X2=3、X3=-2.5。
         
    三、求解有约束的方程
    所谓有约束的方程，就是除了主要方程式（称作目标函数）外，还带有若干附加条件。目标函数和这些附加条件未必都是“等于”的关系，它们可以是“大于”，可以是“小于”，也可以是“最大”或“最小”，方程式的数量也未必和未知变量相等，求解这类方程，显然不是一般代数方法能够奏效的。计算有约束方程的方法，在运筹学中称为“最优化问题”，Excel为此设计了“规划求解”专用工具。“规划求解”可以解决社会、经济、工程诸多实际问题，这里我们只用一个数值例子，说明具体计算方法。
    今有目标函数 ，要求在以下约束下，获得最大值。
                    
    这是一个求最大值的问题，方程式（不等式）的数量也超过变量的数目，所以只能用“规划求解”方法计算。
    我们在Excel表格中，设A2、B2、C2分别为X1、X2、X3三个变量（计算前为空格），在D2单元格输入目标函数公式“=3*A2+B2+3*C2”, 在E2单元格输入第一约束条件“=3*A2+B2+C2”, 在F2单元格输入第二约束条件“=A2+2*B2+3*C2”, 在G2单元格输入第三约束条件“=2*A2+2*B2+C2”。
    点“工具”菜单的“规划求解”， “目标单元格”设为D2，“目标值”设为“最大值”，“可变单元格”设为A2：C2。点“添加”，设置以下约束：E2≤2、F2≤5、G2≤6、A2:C2